Question

如何解抽象函数

Answer 1

一．特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。
　　例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )
　　A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( )
　　分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有
　　特殊函数 抽象函数
　　f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)
　　f (x)=
　　f (x+y)= f (x) f (y)
　　f (x)=
　　f (xy) = f (x)+f (y)
　　f (x)= tanx f(x+y)=
　　此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)
　　∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。
　　二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。
　　例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法
　　解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,
　　再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。
　　得 f (x)是一个奇函数，再令 ，且 。
　　∵x <0，f (x) >0，而 ∴ ，则得 ，
　　即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。
　　例3 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数 ， ，恒有f( )=f( )+f( ),
　　试判断f(x)的奇偶性。
　　解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令 =1， =-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得
　　f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。
　　三．利用函数的图象性质来解题：
　　抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。
　　抽象函数解题时常要用到以下结论：
　　定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x= 对称。
　　定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。
　　例4 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。
　　分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。
　　由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。
　　证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。
　　∴f (x)是一个周期函数。
　　例5 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围
　　分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。
　　解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得 ，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m< 。

Answer 2

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身.

Answer 3

紧抓住函数的定义，（增减性，奇偶性，特殊值，极值等等函数的特性）