Question

已知圆M的圆心M在Y轴上，半径为1.直线L：y=2x+2被圆M所截得弦长为（4√5）/5，且圆心M在直线L的下方

已知圆M的圆心M在Y轴上，半径为1.直线L：y=2x+2被圆M所截得弦长为（4√5）/5，且圆心M在直线L的下方。（1）求圆M的方程。（2）设A（t，0），B（t+5,0)(-4≤t≤-1).若AC、BC是圆M的切线，求△ABC面积的最小值。

Answer 1

解：设圆心坐标M(0,m)，圆的方程为：x^2+(y-m)^2=1
（1）求直线与圆的交点：x^2 + ( 2x+2-m)^2=1，化简为：
5x^2 + 4(2-m)x + (3-m)(1-m) = 0
x1+x2 = 4(m-2)/5；x1*x2 = (3-m)(1-m)/5；
所以 (x1-x2)^2 = (x1+x2)^2 - 4x1*x2 = 16(m-2)^2/25 - 4(3-m)(1-m)/5 = -4(m^2-4m-1)/25
同理：(y1-y2)^2 = -16(m^2-4m-1)/25
弦长：(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 = 16/5 = -20(m^2-4m-1)/25
解得：m=1 或3。因为圆心在直线下方：m<y(0)，所以取m=1。
所以圆M的方程为：x^2 + (y-1)^2 =1 。
（2）设AC、BC方程为：
AC：y=k1(x-t) ； BC：y=k2(x-t-5) ；
AC代入圆方程得：(1+k1^2)*x^2 - 2*k1*(k1*t+1)*x + (k1*t+1)^2 - 1 = 0
因为相切，△=0 ，解得：k1=2t/(1-t^2) (k1=0舍去)；
同理BC代入圆方程并由相切条件可得：k2=2(t+5)/[1-(t+5)^2]
由两直线方程求交点C坐标（求y坐标即可）：y=5k1k2/(k2-k1) ；
代入k1、k2即得：y = 2t(t+5)/(t^2+5t+1) = 2[ 1 - 1/ ( t^2+5t+1 ) ]
对 t^2+5t+1=(t+5/2)^2-21/4 研究可知，当t=-5/2时，y取最小值，且y=50/21；
因此，此时△ABC面积：(1/2)*AB*y=(1/2)*5*50/21=125/21，也是最小值。