Question

设a∈R,函数fx=ax³-3x²,若函数gx=fx+fx的导数。x∈[0 2]在x=0处取得最大值，则a的取值范围是

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首先f'(x)=3ax²-3，所以g(x)=ax^3+3ax²-3x-3，则g'(x)=3ax²+6ax-3
由已知，g(x)在[0,2]上递减，所以在[0,2]上g'(x)=3ax²+6ax-3≤0当a＞0时
(下面不再讨论抛物线，而是用简便方法)
则在[0,2]上，a≤1/(x²+2x)恒成立，(则a要比1/(x²+2x)的最小值还要小才能恒成立)
又x²+2x=(x+1)²-1且x∈[0,2],
∴1≤x+1≤3，所以1≤(x+1)²≤9，0≤(x+1)²-1≤8，可去掉0，
则1/(x²+2x)≥1/8，
∴a≤1/8

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