Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2^x. 若对于任意的x∈【t,t+1】,不等式

设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2^x. 若对于任意的x∈【t,t+1】,不等式f(x+t)≥【f(x)】^3，求t的取值范围

Answer 1

该题为基础的函数方程不等式问题。利用转换，代换，化归思想即可。
f(x+t)>=f^3(x) => 2^(x+t)>=(2^x)^3=2^(3x)
对于指数函数2^x在R上单调递增，所以上式可得: x+t>=3x => t>=2x
因为在[t,t+1]上恒成立，所以 2x的最大值是2(t+1)
要使不等式恒成立，则t必须大于等于2x的最大值,即t>=2(t+1)
=>t<=-2
综上所述:t的取值范围是(负无穷,-2]