Question

已知fx是奇函数,gx是偶函数且fx-gx=1/（x+1）求fx和gx

已知fx是奇函数,gx是偶函数且fx-gx=1/（x+1）求fx和gx
已知函数fx=x(1/x²-1 +1/2)，①求fx的定义域②判断函数fx的奇偶性并证明结论

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Answer 1

（1）解：∵ f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
∴ f（- x）= - f（x），g（- x）= g（x）
∵ f（x）- g（x）= 1 / （x + 1） ①
∴ f（- x）- g（- x）= 1 /（1 - x）
- f（x）- g（x）= 1 / （1 - x）
f（x）+ g（x）= 1 / （x - 1） ②

① + ② 得：
2 f（x）= 1 / （x + 1） + 1 / （x - 1）
= （x - 1） /（x + 1）（x - 1）+ （x + 1）/（x + 1）（x - 1）
= （x - 1 + x + 1）/ （x + 1）（x - 1）
= 2 x /（x ² - 1）
∴f（x）= x / （x ² - 1）

代入 ② 得：x / （x ² - 1）+ g（x）= 1 / （x - 1）
∴ g（x）= 1 / （x - 1）- x /（x ² - 1）
= （x + 1）/（x + 1）（x - 1）- x /（x + 1）（x - 1）
= （x + 1 - x）/（x + 1）（x - 1）
= 1 / （x ² - 1）

∴ f（x）= x / （x ² - 1） ，g（x）= 1 / （x ² - 1）

（2）解：① ∵ f（x） = x【 1 / （x ² - 1） + 1 / 2 】
∴ x ² - 1 ≠ 0
x ² ≠ 1
x ≠ ± 1
∴ 定义域为：｛x丨x ≠ ± 1｝

② f（x）是奇函数
证明：∵ f（- x）= - x 【 1 / （（- x） ² - 1）+ 1 / 2 】
= - x 【 1 / （x ² - 1）+ 1 / 2 】
= - f（x）
又∵ f（0）= 0 （1 / （0 ² - 1）+ 1 / 2 ） = 0

∴ f（x）是奇函数