Question

在矩形ABCD中，AB20cm，BC为10cm，若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，求这个最小值

在矩形ABCD中，AB为20cm，BC为10cm，若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，求这个最小值

Answer 1

当N确定时，使BM+MN的值最小，就是过N作NE垂直AC于F，使EF=NF，连接BE，则BE于AC的交点就是所求的M点
当N逐渐变化时，点E也在移动，则E点移动的轨迹组成一条线段，此线段所在的直线AE与AB关于AC对称，即角EAC=角BAC
要使BM+MN的值最小，即点B到直线AE的距离最小
即当BE垂直AE时，BM+MN的值最小，最小值就是BE的长度
延长CB至G，使BG=BC，连接AG，过G作GH垂直AC于H
因为 BG=BC，AB垂直CG
所以 角GAB=角BAC，AG=AC
因为 角EAC=角BAC
所以 角GAC=角BAE
因为 AB=20，BG=BC=10，AB垂直CG
所以 AG=AC=10√5
因为 三角形AGC的面积=1/2AC*GH=1/2CG*AB
所以 GH=8√5
因为 AG=AC=10√5
所以 sin(∠GAC)=4/5
因为 角GAC=角BAE
所以 sin(∠BAE)=4/5
因为 AB=20，BE垂直AE
所以 BE=16
所以 BM+MN的最小值=16