Question

已知x,y,z是三负实数，且x+y+z=1,试求证0≤xy+zy+zx-2xyz≤7/27

Answer 1

题目条件应该是非负，不是三负
不等式解法我一时给不出来。
考虑求导解。
对不等式求导，用1-x-y代z，固定y，对x求导得y-y+1-y-2*x-2y(1-y-2*x)=(1-2*y)(1-y-2*x)
那么根据导数的性质知道对于y<=1/2，x=z时取值是最大的，x=0时取值是最小的0；
则把x=z,y=1-2*x代入整理得4x^3-5x^2+2x，对此式x求导化简得(3x-1)(2x-1)，于是我们知道在x=1/3这点为最大值7/27，0点为最小值0；
当y>1/2时，通过类似讨论知道该式值域不超过[0,7/27]，综上得证。

Answer 2

不妨设z<1/2,作上述代换，则β∈[0,π／４)
Ⅰ.xy+yz+zx-xyz =xy(1-z)+z(x+y-xy)=sin2Acos2Bcos6B+sin2B+sin2Bcos2B(1-sin2Aco2ACOS2B)≥0
Ⅱ.又xy+yz+zx-2xyz=xy(1-2z)+z(x+y)=sin2αcos2αcos4βcos2β+1/4sin22β=1/4sin22α1/4(1+cos2β)2cos2β+1/4(1-cos22β)≤1/4+1/16cos2β(1+cos2β)2-1/4cos22β=1/4+1/32[2cos2β(1-cos2β)2]≤1/4+1/32[(2cos2β+(1-cos2β)+(1-cos2β))]3=7/27

Answer 3

呵呵，好像是某届IMO的题目，而且你的题目打错了，是非负实数，不是负实数。
解法提示：
先齐次化，然后用SCHUR分拆。