Question

二元三次方程如何分解因式

例如：x^3-6x^2y+11xy^2-6y^3=0可分解为（x-y）（x-2y）（x-3y）=0,如何分解？
有解这类问题的常用方法吗？

Answer 1

x^3-6x^2y+11xy^2-6y^3

= (x^3-6x^2y+9xy^2) + (2xy^2-6y^3)

= x(x^2-6xy+9y^2) + 2y^2(x-3y)

= x(x-3y)^2 + 2y^2(x-3y)

= { x(x-3y) + 2y^2 } * (x-3y)

= (x^2 - 3xy + 2y^2) * (x-3y)

= (x-y)(x-2y)(x-3y)

1，首先，要明确因式分解的数域范围。三次多项式在有理数域内可能可约也可能不可约（可约就是可以因式分解）。它在实数域和复数域内一定可约。如果是在实数域或复数域内因式分解，可以利用卡当公式直接求根进行因式分解。下面讨论，它在有理数域内的因式分解。

2，然后，利用爱森斯坦判别法判断是否可约。如果不可约，那它在有理数域内不能被因式分解；如果可约，那它在有理数域内至少有一个根。

3，最后，在有理数域内可约的前提下，利用整系数多项式有理根定理判断有理根。利用得到的有理根，可以很快写出因式分解的结果。至此，因式分解就全部完成啦。

扩展资料：

一元三次方程求解：

1，盛金公式法：

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。

2，盛金判别法：

当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

3，盛金定理：

当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。

Answer 2

二元三次方程分解因式可以通过提取公式法得到， 具体以 x^3-2x^2-x+2=0可以分解为(x-2)(x-1)(x+1)=0为例子来解答。

具体解题过程如下：

首先看它的常数项是2，所以它的因数有2、-2、1、-1；然后随便代入一个数字使得x^3-2x^2-x+2=0；例如带进去2，结果为2^3-2*2^2-2+2=0，原式成立；所以证明因式中绝对有一个是（x-2)；然后代入原式凑（x-2)，即是：

x^3-2x^2-x+2

=x^2(x-2)-(x-2)

=(x-2)(x^2-1）

=(x-2)(x-1)(x+1)

扩展资料：

因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用。对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能做因式分解。当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次。

例如：解方程x3-x=0；对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0；得到方程的三个根x1=0,x2=1,x3=-1，所以x3-x=0。

Answer 3

x^3-6x^2y+11xy^2-6y^3
= (x^3-6x^2y+9xy^2) + (2xy^2-6y^3)
= x(x^2-6xy+9y^2) + 2y^2(x-3y)
= x(x-3y)^2 + 2y^2(x-3y)
= { x(x-3y) + 2y^2 } * (x-3y)
= (x^2 - 3xy + 2y^2) * (x-3y)
= (x-y)(x-2y)(x-3y)

追问

我的意思是：不要就题论题，而是找到一种通用方法或常用方法。

追答

没有完全通用的方法，只能具体问题具体分析。
常用方法就是同二次多项式的因式分解一样