Question

线性代数的一个小问题

A为4阶矩阵，r（A）=3 所以方程组AX=0的基础解系含有 一个线性无关解向量。这句话怎么理解啊？

Answer 1

其实根据常识，就是说一个方程决定一个未知数。

所谓的秩，可以理解为有效方程的个数，就是说不成比例，独立的方程个数。
比如，x1+x2+3x3=0，2x1+2x2+6x3=0 虽然有两个方程，但是有效的只有1个。
那么A为4阶方阵，就有四个未知数，r（A）=3 ，相当于有3个独立方程，所以方程组AX=0还有1个未知数是不能被确定的，称为自由分量，每给这个自由分量赋予一个定值，就能确定出一组方程的解。

假设r（A）=2，相当于只有2个独立方程，那么就有两个未知数是自由变量，自由变量的个数，就是线性无关解向量的个数。你可以通过方程组通解的形式和线性无关的定义去理解这个含义。

Answer 2

根据齐次线性方程组解的结构定理, 方程组的基础解系中向量个数是方程组中自由未知量的个数. 因为4阶矩阵A的秩为3, 即是其只有一个自由未知量, 从而其基础解系中只有一个向量. 当然是线性无关的.