Question

已知函数fx=2ax+1/x+（2-a）Inx（a∈R）

已知函数f（x）=2ax+1/x+（2-a）Inx（a∈R）
（1）当a=-1时，求f（x）的极值
（2）当-3＜a＜-2时，若存在x1，x2∈【1,3】，使得If（x1）-f（x2）I＞（m+In3）a-2In3成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1) 函数定义域为 x＞0
a= -1时，f(x)= -2x+1/x+3Inx,

f '(x)= -2-1/x²+3/x
=(-2x²+3x-1)/x
= -(x-1)(2x-1)/x
所以，当 x∈(0,1/2) 或(1,+∞)时, f ‘(x)＜0, f(x)分别单调减；
当 x∈(1/2,1) 时, f ’(x)＞0, f(x)单调增.
所以，x=1/2 时，函数有极小值 f(1/2)=1-3In2；
x=1 时，函数有极大值 f(1)= -1.
(2) f '(x)=2a-1/x²+(2-a)/x

=[2ax²+(2-a)x-1]/x
=(ax+1)(2x-1)/x
令 f '(x)=0，得 x= -1/a 或 x=1/2,
因为 -3＜a＜-2，所以， 1/3＜-1/a＜1/2,
所以，当x∈[1,3] 时, f ‘(x)＜0， f(x)单调减，
If(x1)-f(x2)I≦f(1)-f(3)=2a+1-6a-1/3 -(2-a)In3
= -4a+2/3-(2-a)In3
由题意，-4a+2/3-(2-a)In3＞(m+In3)a-2In3

化简得 -4a+2/3＞ma
因为 a＜0,
所以 m＞-4+2/(3a),
由 -3＜a＜-2 得 -1/3＜2/(3a)＜-2/9,
所以， m＞-4-2/9
即 m＞-38/9