Question

已知函数f（x）=x^2+ax-Inx

（1）若函数fx在[1，2]上是减函数，求a的取值范围
（2）设g(x)=f(x）-x^2是否存在实数a。当x∈[0.e]时，函数gx的最小值是3，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。
（3)当x∈（0，]时，说明e²x²－（5／2）x＞（x+1）㏑x

Answer 1

1、f'(x)=2x+a-1/x<=0，a<=1/x-2x在[1,2]上恒成立，研究不等式右侧函数易知其极小值在x=sqrt(2)/2处取得，所以a<=1/1-2*1=-1
2、g(x)=ax-lnx
(1)若最小值在(0,e]内取得，则g'(x)=a-1/x=0，x=1/a，g(1/a)=1-ln(1/a)=3，a=e^2，x=e^(-2)。验证a=e^2，发现它确实能使x=1/a为最小值，故成立。
(2)若最小值为x=e取得，则ae-1=3,，a=4/e。此时g(x)极小值点为x=e/4<e，不能满足x=e为最小值点。不成立。
综上，a=e^2。
(3)由2知，当a=e^2时g(x)取最小值3，即(e^2)x-lnx>=3，(e^2)x^2-xlnx>=3x，(e^2)x^2-3x>=xlnx（A），对比题中所给式，可知只要研究1/2x和lnx的关系。设u(x)=1/2x-xlnx，求导知x=2为最小值点，u(2)=1-ln2>0。故1/2x>lnx（B）。不等式（A）+（B）即得所证不等式。