Question

高中基本不等式

已知x＞0，y＞0
① x+2y=1则1/x+1/y的最小值

② 满足x+3y=5xy 则3x+4y的最小值

③ x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值

Answer 1

1.1/x+1/y
=1*(1/x+1/y)
=(x+2y)(1/x+1/y)
=1+2+2y/x+x/y
=3+2y/x+x/y
[平均值不等式]
>=3+2√(2y/x*x/y)
=3+2√2

取等号时2y/x=x/y x=√2y
代入x+2y=1解得x=√2-1 y=(2-√2)/2
2.∵x+3y=5xy
∴(1/y)+(3/x)=5.
5(3x+4y)
=[(1/y)+(3/x)][4y+3x)≥(2+3)²=25
∴3x+4y≥5
∴(3x+4y)min=5
3.(x+2y)^2=x^2+4y^2+4xy>=8xy (应用公式：a+b>=2√(ab),a>0,b>0)
其中，当x=2y时取等号（最小值），此时将x=2y代入x+2y+2xy=8得到：
x +x +x^2=8 整理得（x+1)的平方=9
所以x=2或x=-4
因为x大于0，所以取x=2，y=1
所以(x+2y)^2最小值=8xy=16
所以x=2,y=1时，x+2y有最小值=根号16=4

Answer 2

等号成立的条件偷懒都没写，= =考试要记得
（1），1/x+1/y=（1/x+1/y）*1=（1/x+1/y）*（x+2y）=3+x/y+2y/x大于等于3+2^1/2(最小值）

（2），x+3y=5xy，两边同除5xy，x/5+3y/5=1，然后和第一题一样

（3），（x+2y）^2=x^2+4y^2+4xy大于等于8xy，x=2y等号成立

x=2y代入第一个式子，x2，y=1，最小为4

追问

谢谢

追答

= =，看到谢谢我喜得不得了，一楼比我答得好得多你居然会选我的
原来是我自恋了哈哈

追问

对不起呀 我很抱歉

追答

额，你抱歉什么= =，恩恩，我要高三了，祝我加油，也祝你加油