求函数f（x）=根号x按（x-4）的幂展开的3阶泰勒公式
函数f（x）＝√x按（x－4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式：
√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4。
过程如下：
f(x)=x^(1/2) f(4)=2
f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4
f''(x)=-1/2^2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5
f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8
f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)
泰勒公式的注意事项：
泰勒展开，或者说麦克劳林公式，并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。
可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。
已赞过
已踩过<
f(x)=x^(1/2) f(4)=2
f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4
f''(x)=-1/2^2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5
f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8
f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)
函数f（x）＝√x按（x－4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式：
√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4
扩展资料：
一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项。
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。
可以考虑泰勒公式，答案如图所示
