Question

求函数y=x²+2x√1-x²的值域是

Answer 1

定义域为1-x^2≥0
所以，x∈[-1,1]
令x=sint（t∈[-π/2,π/2]）
则原式y=(sint)^2+2sintcsot=sin^2 t+sin2t
=[(1-cos2t)/2]+sin2t
=sin2t-(1/2)cos2t+(1/2)
=(√5/2)*sin(2t-φ)+(1/2)（其中φ=arcsin(√5/5)）
已知t∈[-π/2,π/2]
所以，2t∈[-π,π]
所以，2t-φ∈[-π-arcsin(√5/5),π-arcsin(√5/5)]
所以，sin(2t-φ)∈[-1,1]
所以，y∈[(1-√5)/2,(1+√5)/2]

Answer 2

令x=sinθ，θ∈[0，π/2]，则
y=(sinθ)^2+2sinθcosθ
=(√5/2)sin(2θ-φ)+1/2，
∴y∈[(1-√5)/2，(1+√5)/2]。