Question

已知函数f(x)=(x^2-2x+a)/x (1)当a=1时,用定义证明:f(x)z在[1,+∞)上是增函数

（2）当a=1时，求f(x)在[2,+∞）上的最小值；（3）若f(x)>0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）a=1,f(x)=(x-1)^2/x
所以 x=1,f(x)=0;
f(x)'=(x^2-1)/x^2
所以 x=1,x=-1 f(x)'=0
即 x>1或x<-1 f(x)'>0 ,f(x)在[1,+∞)上是增函数
(2)a=1,由（1）题可知
f(x)在[1,+∞)上单调递增
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为 f(2)=1/2;
(3)f(x)=(x^2-2x+a)/x ,f(x)'=(x^2-a)/x^2
Ⅰ.a=0时，f(x)'=1>0恒成立
f(x)=(x^2-2x)/x=x-2
所以f(x)>0在（0，+∞）上不恒成立
Ⅱ.a>0时,f(x)'=0,x=√a或-√a
所以x<-√a或x>√a 时 f(x)单调递增
-√a<x<√a 时 f(x)单调递减
①√a>0且f(√a)>0
所以 a>0且 a≠1
②√a<0,不成立
Ⅲ.a<0,f(x)'>0恒成立，这个范围我认为不成立
综上所诉，a>0且a≠1
这个正确率没保证，只能给你提供个思考方向