Question

求中值定理证明的几种构造函数的方法

如题

Answer 1

1 原函数法
此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的 换成 ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 .
例1:证明柯西中值定理.
分析:在柯西中值定理的结论 中令 ，得 ，先变形为 再两边同时积分得 ，令 ，有 故 为所求辅助函数.
例2:若 , , ,…, 是使得 的实数.证明方程 在（0，1）内至少有一实根.
证:由于
并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设
（取 ），则
1） 在[0，1]上连续
2） 在（0，1）内可导
3） =0，
故 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在 使 ，即 亦即 .
这说明方程 在（0，1）内至少有实根 .
2 积分法
对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数.
例3:设 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导， ， .证明存在 使 .
分析:结论变形为 ，不易凑成 .我们将 换为 ，结论变形为 ，积分得: ，即 ，从而可设辅助函数为 ，有 .本题获证.
例4:设函数 ， 在 上连续，在 内可微， .证明存在 ，使得: .
证:将 变形为 ，将 换为 ，则 ，两边关于 积分，得: ，所以 ，其中 ，由 可得 .由上面积分的推导可知， 为一常数 ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的 的存在是不成问题的.因而令 ，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.
3 几何直观法
此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数.
例5:证明拉格朗日中值定理.
分析:通过弦 两个端点的直线方程为 ，则函数 与直线AB的方程之差即函数 在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数.
例6:若 在 上连续且 .试证在 内至少有一点 ，使 .
分析:由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数 的图形曲线必跨越 这一条直线，而两者的交点的横坐标 ，恰满足 .进而还可由图知道，对 上的同一自变量值 ，这两条曲线纵坐标之差 构成一个新的函数 ，它满足 <0, >0,因而符合介值定理的条件.当 为 的一个零点时， 恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .
4 常数k值法
此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点:
1） 将结论变形，使常数部分分离出来并令为 .
2） 恒等变形使等式一端为 及 构成的代数式，另一端为 及 构成的代数式.
3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为 ，相应的函数值改为 .
4）端点换变量 的表达式即为辅助函数 .
例7:设 在 上连续，在 内可导， ，试证存在一点 ，使等式 成立.
分析:将结论变形为 ，令 ，则有 ，令 ，可得辅助函数 .
例8:设 在 上存在，在 ，试证明存在 ，使得 .
分析:令 ，于是有 ，上式为关于 ， ， 三点的轮换对称式，令 （or: ，or: ），则得辅助函数 .
5 分析法
分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.
例9:设函数 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点 ，使得 .
分析:所要证的结论可变形为: ，即 ，因此可构造函数 ，则对 与 在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明.
例10:设函数 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且 =0，对任意 有 .证明存在一点 使 （ 为自然数）成立.
分析:欲证其成立，只需证 由于对任意 有 ，故只需证: 即 ，于是引入辅助函数 （ 为自然数）.
例11:设函数 在区间［0，+ ］上可导，且有 个不同零点: .试证 在[0，+ ]内至少有 个不同零点.（其中， 为任意实数）
证明:欲证 在[0，+ ）内至少有 个不同零点，只需证方程 =0在[0，+ ]内至少有 个不同实根.
因为， ， ，故只需证方程 在 内至少有 个不同实根.
引入辅助函数 ，易验证 在区间[ ]，[ ]，…，[ ]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这 个区间上应用罗尔定理，得 ，其中 且
以上说明方程 在[ ] [ ] … [ ] [0，+ ]内至少有 个不同实根，从而证明了方程 =0在[0，+ ]内至少有 个不同实根.
6 待定系数法
在用待定系数法时，一般选取所证等式中含 的部分为 ，再将等式中一个端点的值 换成变量 ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数 ，这样首先可以保证 =0，而由等式关系 =0自然满足，从而保证 满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数 与 之间的关系.
例12:设 是 上的正值可微函数，试证存在 ，使 .
证明:设 ，令 容易验证 在 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在 使 ，解得 ，故 .
例13:设函数 在 上连续，在 内可导，则在 内至少存在一点 使 .
证明:将所证等式看作 ，设 ，令 ，则 满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点 ，使 ，即 ，若 =0，则 ，结论成立；若 ，则 ，从而有 .
例14:设 ，则存在 使 .
分析:对于此题设 作函数 .应用罗尔定理可得存在 ，使 ，即 ，从而 ，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数.
证明:将所证等式变形为 ，设 ，令 ，则 满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在 ，使 ，即 ，于是 ，故 .
总之，证明微分中值命题的技巧在于:一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数.抓住这两点，即可顺利完成证明.