Question

在平面直角坐标系xOy中,已知直线 根号3x+y-6=0与圆(x-根号3)^2+(y-1)^2=2,交于 A、B两点，则直线OA与直

交于
A、B两点，则直线OA与直线OB的倾斜角之和为

Answer 1

设 A（x1，y1），B（x2，y2），
那么 kOA=y1/x1 ，kOB=y2/x2 ，
所以 (kOA+kOB)/(1-kOA*kOB)=(y1/x1+y2/x2) / (1-y1y2/x1x2)=(x1y2+x2y1)/(x1x2-y1y2) ，
将 y1=6-√3x1 ，y2=6-√3x2 代入，
上式可化为 [ -2√3x1x2+6(x1+x2)] / [ -2x1x2+6√3(x1+x2)-36] 。----------------（1）
将两曲线方程联立，消去 y 可得 (x-√3)^2+(6-√3x-1)^2=2 ，
化简得 2x^2-6√3x-13=0 ，
因此 x1+x2=3√3 ，x1*x2= -13/2 ，
代入（1）可得结果为 31√3 / 31=√3 ，
即 tan(a+b)=√3 ，
所以 OA、OB 倾斜角的和为 60° 。

Answer 2

y=6-√3x代入圆的方程中消去y得：2x²-6√3x+13=0
设A(x1,y1), B(x2,y2); 则y1=6-√3x1, y2=6-√3x2;
x1+x2=3√3; x1x2=13/2;
KOA=tanα=y1/x1=(6-√3x1)/x1; KOB=tanβ=y2/x2=(6-√3x2)/x2
α,β均为锐角；tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=[(6-√3x1)/x1+(6-√3x2)/x2]/[1-(6-√3x1)(6-√3x2)/x1x2]
=[6(x1+x2)-2√3x1x2]/[6√3(x1+x2)-36-2x1x2]=(6×3√3-13√3)/(54-36-13)=5√3/5=√3
所以α+β=π/3