Question

求空间点到直线距离

点M（1，2，3）到直线｛x+y-z=1，2x+z=3｝的距离是____？

Answer 1

之前的答案有部分错误已经修改，又添加了另外一种更为简洁的方法

Answer 2

直接套公式即可

Answer 3

由两平面可得z=3-2x，y=4-3x。因此直线方程为：x/(-1)=(y-4)/3=(z-3)/2，
直线的方向向量为(-1,3,2) 。可设直线上一点N(-t,3t+4,2t+3)，MN向量为(-t-1,3t+2,2t)
若MN垂直于直线，则(-1,3,2)*(-t-1,3t+2,2t)=0。可解得t=-1/2
MN的模长sqr(6)/2即为所求。

Answer 4

由两平面可得z=3-2x，y=4-3x。因此直线方程为：x/(-1)=(y-4)/3=(z-3)/2，

直线的方向向量为(-1,3,2) 。可设直线上一点N(-t,3t+4,2t+3)，MN向量为(-t-1,3t+2,2t)

若MN垂直于直线，则(-1,3,2)*(-t-1,3t+2,2t)=0。可解得t=-1/2

拓展技巧

一、总公式：

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为： 

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l2+m2+n2)

d=√((x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2-s2)

二、引申公式：

公式①：设直线l1的方程为  ；直线l2的方程为 

则 2条平行线之间的间距： 

公式②：设直线l1的方程为  ；直线l2的方程为 

则 2条直线的夹角

Answer 5

在直线上任取两点A(1，1，1),B(-1，-2，2)，分别与M建立方向向量MA（0，-1，-2），MB(-2,-4,-1), AB=14^0.5
故三角形面积S=MAxMB=AB*d*0.5
d=2*(69/14)^0.5