Question

已知函数f（x）=根号x，g（x）=a/x，a∈R。若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）且交点处的切线互相垂直

求a的取值范围级切线的方程

Answer 1

解设交点为（x0，y0）
则y0=√x0，y0=a/x0，即a/x0=√x0，即a=x0√x0..........①
又有f'（x）=1/2√x，g'(x)=-a/x²
即曲线y=f（x）与曲线y=g（x）且交点处的切线的斜率为1/2√x0，-a/x0²
又有切线互相垂直即（1/2√x0）*（-a/x0²）=-1
即a=2x0²√x0..........②
由①和②得x0=1/2
即a=1/2*√(1/2)=√2/4
即交点为（1/2,√2/2)，切线斜率k=√2/2和k=-√2
即切线方程为y-√2/2=√2/2(x-1/2)，即y=√2/2x+√2/4
y-√2/2=-√2(x-1/2)，即y=-√2x

Answer 2

a=根号二/4