Question

已知函数f(x)=|x+1/x|-|x-1/x|,关于x的方程f(x)^2+a|f(x)|+b=0恰有6个不同实数解,则a的取值范围是

Answer 1

显然f(x)定义域为x≠0
且f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数
易知f(x)=|(x^2+1)/x|+|(x^2-1)/x|
当x<-1时，f(x)=-2/x（递增）
当-1≤x<0时，f(x)=-2x（递减）
当0<x≤1时，f(x)=2x（递增）
当x>1时，f(x)=2/x（递减）
不难知0<f(x)≤2

因f(x)>0
则关于x的方程f(x)^2+a|f(x)|+b=0等价于f(x)^2+af(x)+b=0
因关于x的方程f(x)^2+af(x)+b=0有6个不同解
则关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0必有两解
即⊿=a^2-4b>0（I）

在（I）的条件下
解关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0得
f(x)1=[-a+√(a^2-4b)]/2
f(x)2=[-a-√(a^2-4b)]/2
显然f(x)1>f(x)2

令y1=[-a+√(a^2-4b)]/2，y2=[-a-√(a^2-4b)]/2
要使关于x的方程f(x)^2+af(x)+b=0有6个不同解
则f(x)与直线y1、y2有6个不同交点
于是有[-a+√(a^2-4b)]/2=2（II）
且有0<[-a-√(a^2-4b)]/2<2（III）

由（I）（II）（III）得-4<a<-2

Answer 2

负6