已知f(x)=8+2x-x^2,如果g(x)=f(2-x^2),求函数g(x)的单调区间。
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解:令f(u)=-u2+2u+8,u(x)=2-x2,
由u(x)=2-x2可知,x≥0递减,x<0递增且u≤2.
由f(u)=-u2+2u+8,可知,
当u≤1时递增,当1<u≤2时递减.
(1)当u≤1时,2-x2≤1,即x≥1或x≤-1,
故x≥1时,g(x)单调递减,x≤-1时,g(x)单调递增.
(2)当1<u≤2时,1<2-x2≤2,即-1<x<1
故-1<x<0时,g(x)单调递减,0≤x<1时,g(x)单调递增.
综上,g(x)的单调递增区间为(-∞,-1〕,〔0,1).
g(x)的单调递减区间为(-1,0),〔1,+∞).
由u(x)=2-x2可知,x≥0递减,x<0递增且u≤2.
由f(u)=-u2+2u+8,可知,
当u≤1时递增,当1<u≤2时递减.
(1)当u≤1时,2-x2≤1,即x≥1或x≤-1,
故x≥1时,g(x)单调递减,x≤-1时,g(x)单调递增.
(2)当1<u≤2时,1<2-x2≤2,即-1<x<1
故-1<x<0时,g(x)单调递减,0≤x<1时,g(x)单调递增.
综上,g(x)的单调递增区间为(-∞,-1〕,〔0,1).
g(x)的单调递减区间为(-1,0),〔1,+∞).
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追问
您好,能否补充说明运用那种定理公理,或数学思想?
追答
不知道怎么说。。就是整体换元,然后根据内层简单函数的单调性或定义域得到值域什么的,然后再用于外层,将定义域划分细一点,分点讨论,一步一步来。。
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