Question

如图所示,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且BD=CE,M,N分别是BE,CD的中点,直线MN分别交AB，AC于P，Q求证

:△APQ是等腰三角形

Answer 1

证明：取BC中点G，连接MG、NG
∵G是BC的中点，M是BE的中点
∴MG＝CE/2,MG∥AC
∴∠GMN＝∠AQP
∵G是BC的中点，N是CD的中点
∴NG＝BD/2,NG∥AB
∴∠GNM＝∠APQ
∵BD＝CE
∴MG＝NG
∴∠GMN＝∠GNM
∴∠APQ＝∠AQP
∴AP＝AQ
∴△APQ是等腰三角形

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Answer 2

首先取BC的中点F，连接FM和FN
因为长度：FM=1/2CE FN=1/2BD （中位线）
由BD=CE得到FM=FN，因此FMN为等腰三角形：角FMN=角FNM
又因为FM平行于CE 角FMN=角PQA 同理 角FNM=角QPA （平行线内错角相等）
得到角APQ=角AQP 因此APQ是等腰三角形