Question

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx,a,b属于R,已知f(x)在区间（1,2）内存在两个极值点，求证：0<a+b<2

2由题意得f(x)的导函数在区间（1，2）内由两个取值为0，由此得方程x^2+2ax+b=0在（1，2）内有两根，这等价于1<-2a/(2*1)<2,方程判别式大于0，且f(1)>0,f(2)>0,解以上不等是得-2<a<-1,b<a^2,b>-2a-1,所以0<-2a-1+a<a+b<a^2+a<2 我想问最后一步是什么意思啊

Answer 1

证明：对函数求导可得，f′（x）=x�0�5+2ax+b，
因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x�0�5+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴f′(1)=1+2a+b＞0，(1)
f′(2)=4+4a+b＞0， (2)
1＜-a＜2，(3)
△=4(a�0�5-b)＞0. (4)
由 （1）+（3）得a+b＞0，由（4）得a+b＜a�0�5+a，
∴-2＜a＜-1，又a�0�5+a=(a+1/2)�0�5-1/4＜2，
∴a+b＜2．
故a+b的取值范围是（0，2）

因为想要导函数是开口向上的二次函数，且开口向上，所以要满足这几个条件，式子（1）、（2）意思是在x=1,2时导函数的值在x轴的上方，式子（3）指的是对称轴要在区间（1，2）之间，式子（4）指的是其图像要与x轴有两个交点，你画画图，只要具备了这几个条件，那么就可以确定f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点了。 别认为自己笨，数学需要扎实的基础，再加上明确的思路和方法，而这一切都需要自己多记多总结，在巩固一下就会慢慢变好的。。加油哦！

Answer 2

f'(x)=x^2+2ax+b.因为f(x)在(1,2)内有两个极值点.令f'(x)=0.即x^2+2ax+b=0.所以2<-2a<4,1<b<4.故0<a+b<2.即得证.