高中数学向量公式

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Dior_Xiang
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设a=(x,y),b=(x',y').
1、向量的加法
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c).


2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').


4、数乘向量
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

扩展资料

表达方式

1、代数表示

一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,如

 ,也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示,如,  。

2、几何表示

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,向量的大小,也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量,记作长度等于1个单位的向量,叫做单位向量

参考资料:百度百科——向量

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设a=(x,y),b=(x',y').

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律:

交换律:a+b=b+a;

结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

当λ>0时,λa与a同方向;

当λ<0时,λa与a反方向;

当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律:

① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.

② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

4、向量的的数量积

定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]


定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'.

向量的数量积的运算率
a·b=b·a(交换率);

(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1)向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.

2)向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3)|a·b|≠|a|·|b|

4)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b

4、向量的向量积

定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是:

∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质:

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a∥b〈=〉a×b=0.

向量的向量积运算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

扩展资料:

向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。

一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,如  ,也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示,如,  。

研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下:

1 一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。

2 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念,称为内积空间。

3 一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。

4 一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。

概念:

1 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作  或AB;

2 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|;

3 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作  或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在向量“0”上加箭头,以免混淆);

4 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;

5 平行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量,零向量与任意向量平行,即0//a;

6 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

7 相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量,物理学中也称作矢量,与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示,也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

向量的模的运算没有专门的法则,一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。多个向量的合成用正交分解法,如果要求模一般需要先算出合成后的向量。模是绝对值在二维和三维空间的推广,可以认为就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。

向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

参考资料:百度百科-向量

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设a=(x,y),b=(x',y')。
  
1、向量的加法

  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
  AB+BC=AC。
  a+b=(x+x',y+y')。
  a+0=0+a=a。
  向量加法的运算律:
  交换律:a+b=b+a;
  结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
  
2、向量的减法

  如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
  AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
  a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
  
4、数乘向量

  实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
  当λ>0时,λa与a同方向;
  当λ<0时,λa与a反方向;
  当λ=0时,λa=0,方向任意。
  当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
  注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
  当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
  当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
  数与向量的乘法满足下面的运算律
  结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
  数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
  
3、向量的的数量积

  定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。
  定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
  向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
  向量的数量积的运算率
  a·b=b·a(交换率);
  (a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
  向量的数量积的性质
  a·a=|a|的平方。
  a⊥b 〈=〉a·b=0。
  |a·b|≤|a|·|b|。
  向量的数量积与实数运算的主要不同点
  1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
  2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。
  3、|a·b|≠|a|·|b|
  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
  
4、向量的向量积

  定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
  向量的向量积性质:
  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
  a×a=0。
  a∥b〈=〉a×b=0。
  向量的向量积运算律
  a×b=-b×a;
  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
  (a+b)×c=a×c+b×c.
  注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
  
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毛小宇大哥哥
2019-12-21 · TA获得超过150个赞
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其实高中数学向量公式很简单,自己画个图,然后慢慢想一想就知道了
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