Question

线性代数：求出以下方阵的特征值，并问能否相似于对角矩阵？若能，则求出其相似标准形。

重点是解题过程，思路我也明白，特征值我已经求出来了，是1，2，3.

Answer 1

首先A的特征多项式为f(x)=(x-1)(x-2)(x-3), 所以A的特征值为1,2,3。
对于特征值1， 解线性方程组(1E-A)X=0, 得到其基础解系为a1=(1,1,1)^T

对于特征值2， 解线性方程组(2E-A)X=0, 得到其基础解系为a1=(2,3,9)^T

对于特征值3， 解线性方程组(3E-A)X=0, 得到其基础解系为a1=(1,3,-4)^T
以a1,a2,a3为列，构造矩阵3行3列矩阵P=(a1,a2,a3), 从而P^{-1}AP=diag(1,2,3).

追问

特征值 是2的时候答案是2，3，3 ；特征值是3的时候，基础解系为1，3，4.

追答

正确！不好意思哈！特征值 是2的时候答案是（2，3，3）， 特征值是3的时候，基础解系为（1，3，4）.

Answer 2

3阶方阵A有3个不同的特征值1,2,3，所以A一定可以相似对角化，相似标准形是
1 0 0
0 2 0
0 0 3
这里对角矩阵的对角线元素只要是3个特征值即可，顺序任意。