Question

数学，证明题，求过程

已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上的一个动点，点E从D点向B点运动（与B、D不重合），过点E的直线MN平行于DC，交AD于M，交BC于N，EF垂直于AE于E，交CB(或CB的延长线)于F 问：(1)、如图1，求证三角形AME全等于三角形ENF (2)、点E在运动的过程中（图1、图2），四边形AFNM的面积是否发生变化

Answer 1

（1）证明：由条件可知ME=MD，而AM+MD=ME+EN=1，∴AM=EN
又∵∠AEF=90°，所以∠AEM+∠FEN=90°，在RT△ENF中，∠FEN+∠EFN=90°，∴∠AEM=∠EFN
所以RT△AME≌RT△ENF。
（2）由题意AE≤√2/2，当△ABE是等腰三角形时，有两种情况：（a）AE=BE，则E在BD中点，DE=1/2BD=√2/2。（b）AB=BE，则DE=BD-BE=√2-1。
（3）不发生变化，∵四边形AFNM为平行梯形，高为1，由（1）中两个三角形全等可知AM+FN=AM+ME=AM+MD=1，∴它的面积是1×1/2=0.5。

Answer 2

1)AEFB四点共圆，∴∠AFE=∠ABE=45°，又AE⊥EF，所以△AEF是等腰直角三角形；
∠AEM与∠FEN互余，∴∠AEM=∠EFN；∴△AME≌△ENF
2)不变，FN+AM=1，高=1