Question

数学，证明题，求过程

已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上的一个动点，点E从D点向B点运动（与B、D不重合），过点E的直线MN平行于DC，交AD于M，交BC于N，EF垂直于AE于E，交CB(或CB的延长线)于F 问：(1)、如图1，求证三角形AME全等于三角形ENF (2)、点E在运动的过程中（图1、图2），四边形AFNM的面积是否发生变化

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥AB，
∴四边形ABNM和四边形MNCD都是矩形，
△NEB和△MDE都是等腰直角三角形．
∴∠AEF=∠ENF=90°，MN=BC=AB，EN=BN
∴MN-EM=AD-MD，
即EN=AM，
又∵∠AEM+∠FEN=90°，∠AEM+∠EAM=90°
∴∠EAM=∠FEN，
∵∠AME=∠ENF=90°，
∴△AME≌△ENF（ASA）；
（2）四边形AFNM的面积没有发生变化
（i）当点E运动到BD的中点时，
四边形AFNM是矩形，S四边形AFNM=1/2
（ii）当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFNM是直角梯形．
由（1）知，△AME≌△ENF，
同理，图（2），△AME≌△ENF，
∴FN=EM=DM．
∴FN+AM=DM+AM=AD=1
这时，S四边形AFNM=1/2（FN+AM）•MN=1/2
综合（i）、（ii）可知四边形AFNM的面积没有发生改变，都是 1/ 2 ．
望采纳

Answer 2

（1）证明：由条件可知ME=MD，而AM+MD=ME+EN=1，∴AM=EN
又∵∠AEF=90°，所以∠AEM+∠FEN=90°，在RT△ENF中，∠FEN+∠EFN=90°，∴∠AEM=∠EFN
所以RT△AME≌RT△ENF。
（2）由题意AE≤√2/2，当△ABE是等腰三角形时，有两种情况：（a）AE=BE，则E在BD中点，DE=1/2BD=√2/2。（b）AB=BE，则DE=BD-BE=√2-1。
（3）不发生变化，∵四边形AFNM为平行梯形，高为1，由（1）中两个三角形全等可知AM+FN=AM+ME=AM+MD=1，∴它的面积是1×1/2=0.5。