Question

高等数学重积分，轮换对称性和积分变换次序的问题

15题（2）用到了轮换对称性，没用明白为什么这里可以使用轮换对称性，要是都可以使用轮换对称性，岂不是做积分次序变换的时候，可以直接y替换x,x替换y就好了，更方便快速了简单了呢？

Answer 1

区域D的特点，两个坐标轴交换，图形没有任何变化。而坐标轴交换后，平面上点的坐标由(x,y)变成了(y,x)，所以积分∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y,x)dxdy。

追问

那就是满足轮换对称性可以使用的条件是两坐标轴交换，图形没有任何变化。

追答

嗯，二重积分的轮换对称性就是看区域和被积函数，注意结论是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y,x)dxdy。如果知道f(y,x)=f(x,y)或f(y,x)=-f(x,y)，积分就会简单些了。
有些题目使用轮换对称性计算就会很简单。比如D是x^2+y^2≤1，那么∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy。所以如果要计算∫∫x^2dxdy，就可以变为1/2×∫∫(x^2+y^2)dxdy，接下去用极坐标即可。再进一步，如果要计算∫∫(a^2x^2+b^2y^2)dxdy，利用轮换对称性，积分可化为(a^2+b^2)/2×∫∫(x^2+y^2)dxdy，比原积分简单多了。
三重积分也有轮换对称性，条件要复杂些，可到百度文库搜索相关文档。