Question

设实数a，b，c不等于0，bc/a，ca/b，ab/c

设实数a，b，c不等于0，bc/a，ca/b，ab/c成等差数列，则下列不等式一定成立的是
A |b|＜=|ac| B b^2＞=|ac| C a^2＜=b^2＜=c^2 D |b|＜=(|a|+|c|)/2
答案是D

Answer 1

bc/a，ca/b，ab/c等差
同乘以abc仍成等差
于是b²c²，a²c²，a²b²成等差
于是2a²c²=b²c²+a²b²=b²(a²+c²)≥b²2ac
得|ac|≥b²
因为|a|+|c|≥2√|ac|≥2|b|于是选D

追问

|ac|≥b²是怎么来的？如果ac小于零呢？

追答

2a²c²=b²c²+a²b²=b²(a²+c²)≥b²2|ac|
你很细心。上面这步就行了

追问

懂了，谢谢~

Answer 2

答案是A
由于bc/a，ca/b，和ab/c成等差数列，
于是有2ca/b=bc/a+ab/c
=(bc^2+ba^2)/ac [通分]
即2a^2*c^2=b^2*a^2+b^2*c^2=b^2(a^2+c^2)
于是b^2=2a^2*c^2/(a^2+c^2)
由于(a-c)^2 ≥ 0
即a^2+c^2-2ac ≥ 0
即a^2+c^2 ≥ 2ac
于是有b^2=2a^2*c^2/(a^2+c^2) ≤ 2a^2*c^2/(2ac)=ac
即b^2 ≤ ac 于是b ≤ /ac/

Answer 3

答案是A
由于bc/a，ca/b，和ab/c成等差数列，
于是有2ca/b=bc/a+ab/c
=(bc^2+ba^2)/ac [通分]
即2a^2*c^2=b^2*a^2+b^2*c^2=b^2(a^2+c^2)
于是b^2=2a^2*c^2/(a^2+c^2)
由于(a-c)^2 ≥ 0
即a^2+c^2-2ac ≥ 0
即a^2+c^2 ≥ 2ac
于是有b^2=2a^2*c^2/(a^2+c^2) ≤ 2a^2*c^2/(2ac)=ac
即b^2 ≤ ac 于是b ≤ /ac/