如图,三角形ABC中,AD是角平分线,角B=2角C,求证:AC=AB+BD.
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证:
延长AB至E,使得BE=BD
则ΔBDE为等腰三角形,有∠BED=∠BDE
所以∠ABC=∠BED+∠BDE=2∠BED
又∠ABC=2∠ACB
所以∠BED=∠ACB
在ΔADE与ΔADC中
∠AED=∠ACD
∠DAE=∠DAC(AD为平分线)
AD=AD
所以ΔADE≌ΔADC
所以AE=AC
而AE=AB+BE=AB+BD
即证AB+BD=AC
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延长AB至E,使得BE=BD
则ΔBDE为等腰三角形,有∠BED=∠BDE
所以∠ABC=∠BED+∠BDE=2∠BED
又∠ABC=2∠ACB
所以∠BED=∠ACB
在ΔADE与ΔADC中
∠AED=∠ACD
∠DAE=∠DAC(AD为平分线)
AD=AD
所以ΔADE≌ΔADC
所以AE=AC
而AE=AB+BE=AB+BD
即证AB+BD=AC
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证明:AC边取点E使AE=AB连接DE
∵AD平∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵AE=ABAD=AD
∴△ABD≌△AED
(SAS)
∴DE=BD∠AED=∠B
∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C
∵∠AED=∠C+∠CDE
∴∠C=∠CDE
∴DE=CE
∴CE=BD
∵AC=AE+CE
∴AC=AB+BD
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∵AD平∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵AE=ABAD=AD
∴△ABD≌△AED
(SAS)
∴DE=BD∠AED=∠B
∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C
∵∠AED=∠C+∠CDE
∴∠C=∠CDE
∴DE=CE
∴CE=BD
∵AC=AE+CE
∴AC=AB+BD
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令AB=AE,再用边角边证明ABD和AED全等,再由B=2C易证EDC等腰,就好证了。
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