Question

如图所示,O为正方形ABCD对角线AC,BD的交点,Q为边CD上任意一点,DP⊥AQ于点H,交BC于点P.试问:△AOQ能与△DO

如图所示，O为正方形ABCD对角线AC，BD的交点，Q为边CD上任意一点，DP⊥AQ于点H，交BC于点P。试问：△AOQ能与△DOP重合吗？△OPQ是等腰三角形吗？

Answer 1

证明：
1、
∵正方形ABCD
∴AD＝CD，AO＝DO，∠ADC＝∠BCD＝90, ∠DAC＝∠CDB＝45
∴∠DAQ+∠AQD＝90
∵DP⊥AQ
∴∠CDP+∠ADQ＝90
∴∠DAQ＝∠CDP
∴△ADQ≌△CDP （ASA）
∴AQ＝DP
∵∠QAC＝∠DAC-∠DAQ，∠PDB＝∠CDB-∠CDP
∴∠QAC＝∠PDB
∴△AOQ≌△DOP （SAS）
∴△AOQ能与△DOP重合
2、
∵△AOQ≌△DOP
∴OP＝OQ
∴等腰△OPQ

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Answer 2

因为角AOD=角AQD=90度，所以AOHD四点共圆，角OAQ=角ODH，
所以角QAD=角PDC，三角形ADQ全等于三角形DPC，所以AQ=DP
因为AO=OD，AQ=DP，角OAQ=角ODH，所以△AOQ与△DOP全等，OP=OQ，△OPQ是等腰三角形。