Question

已知函数f(x)对任意a、b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x>0时，f(x)>1

（1）求证f(x)是R上的增函数（2）若f(4)=5解不等式f(3m^2-m-2)<3

Answer 1

定义在R上的函数f(x)满足：对任意a,b∈R 有f(a+b)=f(a)+f(b)-1此时令a=b=0那么f(0)=2f(0)-1得f(0)=1 令a=x>0b=-xf(0)=f(x)+f(-x)-1f(x)=-f(-x)f(x)>1f(x)-f(-x)=2f(x)>2>0所以f(x)是R上的增函数(2).f(4)=5f(4)=2f(2)-1f(2)=3f(3m^2-m-2)<3=f(2)f(x)是R上的增函数所以3m^2-m-2<2即3m^2-m<00<m<1/3

Answer 2

（1）设b=a+c 其中c>0 所以b>a f(b）=f(a)+f(c)-1 f(b)-f(a)=f(a)+f(c)-1-f(a) =f(c)-1 因为c>0,所以f(c)>1 所以f(c)-1>0 即f(b)-f(a)>0恒成立，证毕 (2) f(4)=f(2)+f(2)-1=5 所以f(2)=3 f(3m^2-m-2)<3=f(2) 又因为f(x)在R上为单调增 所以有 3m^2-m-2<2 即 -1<m<4/3

Answer 3

（1）令b>0,则a+b>a且f(b)>1,所以f(a+b)-f(a)=f(b)-1>0,由此得证（2）令a=b=2,f(4)=2f(2)-1=5,所以f(2)=3，题目就变为f(3m^2-m-2)<f(2) 因为是增函数，所以3m^2-m-2<2,解得-1<m<4/3