Question

从1开始的n个连续自然数，如果去掉其中一个数后，余下各数的平均数是152/7，那么去掉的数是多少

Answer 1

1+2+…+n=n(n+1)/2是这n个连续自然数的和，去掉其中一个数后，有n-1个数，则152/7*(n-1)是去掉其中一个数后的和，因而这个数为n(n+1)/2-152/7*(n-1)=n²/2+n/2-152n/7+152/7=n²/2-297n/14+152/7=(7n²-297n+304)/14，为整数，因为304≡10(mod14)，所以7n²-297n≡4(mod14)，若n为奇数，7n²≡7(mod14)，故297n≡3(mod14)，而297≡3(mod14)，所以n≡1(mod14)，即n=14k+1，k∈N，代入(7n²-297n+304)/14得：[7*(14k+1)²-297(14k+1)+304]/14=[1372k²+196k+7-4158k-297+304]/14=98k²-283k+1≥1，由1≤98k²-283k+1≤14k+1，解得：k=0或283/98≤k≤297/98，又k∈N，所以k=0或3，而显然k=0时，n=1，是不成立的，因而k=3，n=43，98k²-283k+1=34.若n为偶数，7n²≡0(mod14)，故297n≡10(mod14)，而297≡3(mod14)，所以n≡8(mod14)，即n=14k+8，k∈N，代入(7n²-297n+304)/14得：[7*(14k+8)²-297(14k+8)+304]/14=[1372k²+1568k+448-4158k-2376+304]/14=98k²-185k-116由1≤98k²-185k-116≤14k+8，解得：k=-1/2或117/49≤k≤124/49，又k∈N，所以k无解。所以，从1开始到43的43个连续自然数，去掉其中的34这个数后其余数的平均值为152/7。1+2+3+…+43=43*(43+1)/2=946，946-34=912，912/(43-1)=152/7.