Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于D点，E为BC的中点，连接ED并延长交BA延长线于F点

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AB=5AD=1，求线段AF的长；（3）当D为EF的中点时，试探究

线段AB与BC之间的数量关系．过程要详细，拜托了

Answer 1

证明：（1）连接BD，DO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠OAD+∠ABD=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
又∵∠ADF=∠ABD，
∴∠ADF+∠ODA=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）设AF=x，则FD=根号FA乘以FB=根号X（X+根号5）（切割线定理）
在RT△ABD中，BD=根号AB²-AD²=2
∵∠AFD=∠DFB，∠FDA=∠FBD，
∴△AFD∽△DFB，∴DF/FB=AD/BD=1/ 2
即根号X（X+根号5）/X+根号5=2/1
解得：x=根号5/3，即线段AF的长度为根号5/3.
（3）∵点D为EF中点，
∴BD=FD=DE（斜边中线等于斜边一半），
又∵ED=EB（切线的性质），
∴△EDB为等边三角形，
∴∠DBE=60°，∠BCD=30°，
所以BC=根号3AB

追问

为什么∠ADF=∠ABD？