Question

在三角形abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,若acos^2c/2

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos²(C/2)+ccos²(A/2)=3b/2.

(1)求证：a、b、c成等差数列。(2)若角B=60°，b=4,求三角形ABC的面积。（此为昆明市2013届高三第一次市统测文科数学第17题）

Answer 1

1.
acos²(C/2)+ccos²(A/2)=3b/2
a[(1+cosC)/2]+c[(1+cosA)/2]=3b/2

a+acosC+c+ccosA=3b
由余弦定理得
a+a(a²+b²-c²)/(2ab)+c+c(b²+c²-a²)/(2bc)=3b
a+(a²+b²-c²)/(2b)+c+(b²+c²-a²)/(2b)=3b
2ab+a²+b²-c²+2bc+b²+c²-a²=6b²
ab+b²+bc=3b²
a+b+c=3b
a+c=2b
a、b、c成等差数列。
2.
设a=b-d，c=b+d
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
[(b-d)²+(b+d)²-b²]/[2(b-d)(b+d)]=cos60°
b=4代入晌祥昌，整宴早理，得d²=0
d=0
a=b=c=4
SΔ=(1/2)acsinB
=(1/2)×4×4×sin60°
=(1/2)×4×4×(√3/2)
=4√宴扒3