Question

知道一个矩阵如何求一个矩阵的一百次方

Answer 1

求一个m阶矩阵A的n次方的常用方法：
1.利用相似。若A与B相似，则存在可逆矩阵P使得P^（-1）AP=B，则A^n=PB^nP^（-1）。为了简化运算，所求与A相似的矩阵B一般是对角矩阵或A的Jordan标准形：
（1）对角矩阵：即B=diag{λ1，λ2，...，λm}，两个对角矩阵相乘仍是对角矩阵，且对角线上每一个元素为对应的两个矩阵相应位置元素的乘积；
（2）Jordan标准形：则B为分块对角矩阵，主对角上的每一块为一个Jordan块，它可以表示为aE与形如
[0 1 0 ... 0 0]
[0 0 1 ... 0 0]
[... ... ...]
[0 0 0 ... 0 1]
[0 0 0 ... 0 0]（记为C）的矩阵之和的形式，若Jordan块M=aE+C，则M^n=（aE+C）^n，按二项式定理展开，由于C（若C为s阶）为幂零指数为S的幂零矩阵（即C^s=0，C^（s-1）不等于0），剩下的项通常较少。分别计算出每一个Jordan块的n次方，按原位置摆放，所得便是B^n。
2.直接利用二项式定理展开。类似于上面的方法，如果A可以直接表示为一个对角矩阵与C的和，则可以直接通过A^n=（aE+C）^n用二项式定理展开。
3.利用数学归纳法。如果A的阶数是不定的、A中的元素不是常数、A是抽象的，通常采用数学归纳法。先写出前几项A、A^2、A^3...，试着找一找规律，再用数学归纳法证明你的结论。