Question

高一数学函数难题

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),对于任意的x∈R,都有f(x-4)=f(2-x)成立
（1）.函数f（x）取得最小值0，且对任意x∈R，不等式x≤f（x）≤（（x+1）^2）/2成立，求函数f（x）的解析式
（2）若方程f（x）=x没有实数根，判断方程f（f（x））=x 根的情况，并说明理由
第一个是小于等于（（x+1）/2）^2

Answer 1

(1)

f(x-4)=f(2-x)

把x换成3-x得：

f(-1-x)=f(-1+x)

所以对称轴为；

x= - 1

-b/(2a)= -1==>b=2a

f(x)=ax^2+2ax+c

f(min)=f(-1)= -a+c=0

c=a

f(x)=ax^2+2ax+a

f(x)-x=ax^2+(2a-1)x+a≥0

因为最小值等于0，所以判别式≤0

(2a-1)^2-4a^2≤0

-4a+1≤0

a≥1/4

f(x)≤[(x+1)/2]^2

4ax^2+8ax+4a≤x^2+2x+1

(1-4a)x^2+2(1-4a)x+(1-4a)≥0

当(1-4a)=0时，上式为：0≥0，恒成立；

当1-4a≠0时，<=>

{1-4a>0

{x^2+2x+1≥0（恒成立）

所以，

a<1/4

所以，

a≤1/4

又因为，a≥1/4

所以，

a=1/4

f(x)=(1/4)x^2+(1/2)x+(1/4)

==================================================================

(2)

f(-1+x)=f(-1-x)

f(x)=ax^2+2ax+c  (a≠0)

当a>0时，抛物线f(x)开口向上，

f(x)>x恒成立

f[f(x)]>f(x)>x

当a<0时，

f(x)<x

f[f(x)]<f(x)<x

f[f(x)]≠x

方程f[f(x)]=x 无解！

Answer 2

f(x-4) = f(2-x), 所以f(x) 关于x = 3 对称，

f(x) = a(x-3)^2 + m = ax^2 - 6ax + 9a+m

二次函数要求在上图两个曲线之间，可能吗

追问

对称轴是在x=-1上吧，我认为是f（x）刚好等于（（x+1）/2）^2不等式成立