Question

求微分方程y''+4y=0的通解,并设出方程y''+4y=e^x的特解形式

RT 通解我会求 后面设特解就搞不清楚了 参考答案给的是：y=Ae^x完全不知道是怎么来的哭死……求大神讲解一下

Answer 1

这是因为等号右边是e^x, 所以要设特解为y=Ae^x, y"=Ae^x
这样就可代入求值：y"+4y=5Ae^x, 对照原式可得A=1/5
从而求出特解为 y=(1/5)*e^x

追问

为什么等号右边是e^x就要这么设呢？是规定吗？

追答

不是规定，这叫因势就导，观察右边形式来定所设特解形式。如果右边形式是e^x，你在设特解时没有包含e^x形式，那怎么能等于右边呢？
如果等式右边是 x+2之类的，则要设特解为y=ax+b了，代入求值是
y"+4y=0+4ax+4b=x+2, 从而可求出a=1/4, b=1/2, 特解y=x/4+1/2
这么解释不知你明白没有。

追问

那么如果……右边是x^2 之类的那么就设成y=x^a这样吗？

追答

哈哈，对了，不过不是x^a, 是特定的，右边最高是几次就设几次，如右这是x²+1, 你就设ax²+b

Answer 2

特征方程
r^2+4=0
r=±2i
通解y=C1cos2x+C2sin2x
设特解为y=ae^x

追问

我就是不知道这个特解是怎么来的说……可以稍微解释一下吗？

追答

就是这样设的呀，没有什么解释的。书上有具体的设置方法