Question

已知一次函数f(x)=ax^2+(2b+1)x-a(a,b∈R,a≠0)

若f（x）在区间[1,2]上至少有一个零点，求a^2+b^2的最小值（答案已知求过程）

Answer 1

对称轴：x0=-(2b+1)/2a
f(1)=2b+1
f(2)=3a+4b+2

1、在[1,2]上有一零点
①x0=-(2b+1)/2a∈[1,2] 且f(x0)=0
有(2a+2b+1)a≤0且(4a+2b+1))a≥0
（2b+1)^2+4a^2=0
则b=-1/2且a=0
又a≠0
舍

②x0=-(2b+1)/2a∈(-∞,1]∪[2,+∞) 且f(1)*f(2)≤0
有(2a+2b+1)a≥0
且(4a+2b+1))a≤0
且(2b+1)(3a+4b+2)≤0`
a＞0时

4a+2b+1≥2a
4a+2b+1≤0
矛盾
a＜0时
4a+2b+1≤2a
4a+2b+1≥0
矛盾
所以不存在满足的a,b
舍

2、在[1,2]上有二零点
f(x0)=-[(2b+1)^2+a^2]/4a

①x0=-(2b+1)/2a∈[1,2]且f(x0)<0且f(1)>0,f(2)>0

则b>-1/2且3a+4b+2>0且a>0
且(2a+2b+1)a<0且(4a+2b+1))a>0
舍

②x0=-(2b+1)/2a∈[1,2]且f(x0)>0且f(1)<0,f(2)<0
则b<-1/2且3a+4b+2<0且a<0
且(2a+2b+1)a<0且(4a+2b+1))a>0
舍

我觉得很不可思议

Answer 2

这个算比较复杂了，分两种情况，一是只有一个零点，则有f(1)f(2)<0,△=0，二是有两个零点，现在更有点烦了，因为a不知道正负，还要再分两类讨论a<0,a>0,自己结合图象，估计你也知道怎么列式了在这两种情况下，最后结果取交集