Question

一道平面几何证明题，不会做，谢谢了！

在三角形ABC中，角BAC＝90° 点D在BC上，且AB=AD AC=根号3 CD等于1
现在将CD旋转至CN使得CN垂直于AC且旋转角小于90° ，并连接DN。
求证ADN三点共线。

Answer 1

2√3cos^3C-7cos^2C+3=0;{此处是因为知道∠C必须为30°，所以拆分方程就容易了}

(2cosC-√3)(√3cos^2C-2cosC-√3)=0,(2cosC-√3)(√3cosC+1)(cosC-√3)=0

C<90,所以cosC=√3/2，C=30°

追问

看不懂，这个能不能用反证法证明？

追答

看不懂?AB/DG=AC/GC,AD=AB=AC*DG/GC=√3tanC
DE^2=DC^2+CE^2-2DC*CEcos(90-C)=2-2sinC
AD^2=DG^2+AG^2=sin^2C+(√3-cosC)^2=3tan^2C

Answer 2

既然已经观察出30度，完全可以做的更直观简洁一点：

以C为圆心，做半径为1的圆交AB于E，显然点D、N都在圆上
在劣弧圆上取点F，使角FCA＝30度
易知，若D与F重合，则三角形ABD与三角形CDN均为边长为1的正三角形，ADN三点共线
若D不与F重合，则有两种情况：
1，D在劣弧FE上，此时，D在三角形ACF内，则有角ADC>角AFC，角DCA<角FCA
则有角BDA<60度，角ABD>60度，与条件的AB=AD矛盾
2，D在劣弧FN上，此时，F在三角形ACD内，思路与上类似，不再赘述