Question

椭圆X2/9+Y2/4=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当角F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是

Answer 1

由椭圆方程x^2/9＋y^2/4＝1，得：c＝√（9－4）＝√5，
∴F1、F2的坐标分别是（－√5，0）、（√5，0）。
令点P的坐标是（3cosA，2sinA），则：
向量PF1＝（－√5－3cosA，－2sinA）、向量PF2＝（√5－3cosA，－2sinA），
∴向量PF1·向量PF2＝－（√5＋3cosA）（√5－3cosA）＋4（sinA）^2。

∵∠F1PF2是钝角，∴向量PF1·向量PF2＜0，
∴－（√5＋3cosA）（√5－3cosA）＋4（sinA）^2＜0，
∴－［5－9（cosA）^2］＋4（sinA）^2＜0，
∴－5＋4［（cosA）^2＋（sinA）^2］＋5（cosA）^2＜0，
∴－1＋5（cosA）^2＜0，∴（cosA）^2＜1/5，∴－√5/5＜cosA＜√5/5，
∴－3√5/5＜3cosA＜3√5/5。
∴点P的横坐标取值范围是（－3√5/5，3√5/5）。

Answer 2

由椭圆方程x^2/9＋y^2/4＝1，得：c＝√（9－4）＝√5，
∴F1、F2的坐标分别是（－√5，0）、（√5，0）。
令点P的坐标是（3cosA，2sinA），则：
向量PF1＝（－√5－3cosA，－2sinA）、向量PF2＝（√5－3cosA，－2sinA），
∴向量PF1·向量PF2＝－（√5＋3cosA）（√5－3cosA）＋4（sinA）^2。

∵∠F1PF2是钝角，∴向量PF1·向量PF2＜0，
∴－（√5＋3cosA）（√5－3cosA）＋4（sinA）^2＜0，
∴－［5－9（cosA）^2］＋4（sinA）^2＜0，
∴－5＋4［（cosA）^2＋（sinA）^2］＋5（cosA）^2＜0，
∴－1＋5（cosA）^2＜0，∴（cosA）^2＜1/5，∴－√5/5＜cosA＜√5/5，
∴－3√5/5＜3cosA＜3√5/5。
∴点P的横坐标取值范围是（－3√5/5，3√5/5）。