Question

函数展开成幂级数，直接展开法，余项的研究有必要吗

函数展开成幂级数 ，直接展开法，余项的研究有必要吗，难道收敛区间内，余项的极限还有不为0的情况吗？
如图，第三步？？有没有Rn(x)≠0的情况，举例

Answer 1

展开成幂级数的话，直接写成无穷级数就好。不用写余项。
余项一般在求极限的时候，写成无穷小的形式，比如o(x)

余项的作用在于，估算前面的项，比起原函数的误差。

因为余项是无穷小的形式，说以没有极限不为零的情况。

你的问题好奇怪啊。
这个当然极限是0啦，那个f^(n+1)(θx)只是一个已知函数的n+1阶导数而已。
分子上不含有n，极限为什么不是0呢。

设g(x)=f^(n+1)(θx)
那么g(x)/(n+1)!极限当然是0啊

追问

不明白，我已补充问题，请看图。

追答

你的问题好奇怪啊。
这个当然极限是0啦，那个f^(n+1)(θx)只是一个已知函数的n+1阶导数而已。
分子不含有n，分母是一个无穷大
极限为什么不是0呢。

设g(x)=f^(n+1)(θx)
那么g(x)/(n+1)!极限当然是0啊

追问

教材上就是这样啊，我就是奇怪，如果余项肯定是0，要这一步有什么用呢？

追答

人家说的是极限是0，举个例子吧，
e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+e^(θx)x^5/5!
这个e^(θx)x^5/5!就是余项了。

这个e^(θx)x^5/5!=x^5/5!+x^6/6!+............................
知道了吧。并没有求极限啊。

不懂可追问。

追问

不明白你讲的。。我就是想问：函数展开成幂级数 ，直接展开法，如图，第三步，x在收敛区间内时，有没有Rn(x)的极限不是0的情况，如图中最后一行。有的话，如果可以，请举例，如果没有，要这一步有什么用？？

追答

这个余项主要是用于估算误差的。
你看下这个文档中的例题。

http://wenku.baidu.com/link?url=my0ZjUstLH5b3lWC-PofXCnS6vYFo6n2Axtkx24RZL0dx8KSw7B8r11krHhKpXqQPPp75d9CkvCAKa75q0Irjs6v8cGQAriodb6mvECdC5C

Answer 2

既然说了是收敛区间，那么余项的极限就为0了。
收敛区间以外，余项的极限就不一定为0了。

追问

那这一步就是没有必要了？是多此一举？

追答

不是的，正是因为分析了余项及前面的级数和，才得到收敛区间的。

追问

不明白，我已补充问题，请看图。