Question

高中数学，急，要详解，谢谢各位大侠了！！！！！！！！！

Answer 1

(1)令x=y=0，带入恒等式中有f(0+0)=f(0)+f(0) ，所以f(0)=0
令y=-x，带入恒等式中有f(x-x)=f(x)+(-x)，即 f(x)=-f(-x)
所以f(x)为奇函数
(2)f(x)为增函数
证明：设y>x，则t=y-x>0，由题意得f(t)>0
f(y)=f(x+t)=f(x)+f(t)
f(y)-f(x)=f(t)>0
所以 f(x)为增函数
(3)由f(k*3^x)<-f(3^x-9^x-2)

因为f(x)为奇函数
所以f(k*3^x)<f(-3^x+9^x+2)
又f(x)为增函数，所以k*3^x<-3^x+9^x+2，
令t=3^x，t的取值范围为0到真无穷

则不等式化为t^2-(k+1)t+2>0
问题转化为求上式在t属于0到正无穷时恒成立
有两种情况：
(1)抛物线与x轴无交点
即 判别式(k+1)^-8<0，解得 -1-2*根号2<k<-1+2*根号2
(2)抛物线与x轴可能有交点，此时对称轴在x轴或x轴左侧，令g(t)=t^2-(k+1)t+2，有g(0)>=0
所以 (k+1)/2<=0且g(0)>=0
解得k<=-1
综上知，k<-1+2*根号2

楼下第一问解答有误，要证明f(x)为奇函数，却先用了这个结论，第三问解答较为简洁。

Answer 2

（1）
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0
令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数；
（2）
令x+y=x2,
x=x1
x1<x2
则y=x2-x1>0
f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)>f(x1)+0
f(x1)<f(x2)
所以f(x)是增函数；
（3）
因为f(x)是奇函数，所以，原式可化为：
f(k*3^x)<f(9*x+2-3^x)
k*3^x<9*x+2-3^x
k<3^x+2/3^x-1
恒小就是左边的k比右边的最小值还要小，而右边：
3^x+2/3^x-1≥2√3^x·2/3^x -1=2√2-1
k<2√2-1