Question

一道数学题，求解

若关于x的方程3tx²+(3-7t)x+4=0的两实根α,β满足0<α<1<β<2，则实数t的取值范围是？
要过程

Answer 1

解：

依题意，函数f（x）=3tx²+（3-7t）x+4的两个零点α，β满足0＜α＜1＜β＜2，
且函数f（x）过点（0，4），
则必有：

f(0)＞0
f(1)＜0
f(2)＞0

即：

4＞0
3t+3−7t+4＜0
12t+6−14t+4＞0

解得：
7/4＜t＜5．

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追问

f(1)＜0
f(2)＞0
怎么求的

追答

f(1)＜0
3t+3−7t+4＜0
-4t＜-7
4t＞7
t＞7/4

f(2)＞0
12t+6−14t+4＞0
-2t＞-10
t＜5

Answer 2

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令f(x)=3tx^2+(3-7t)x+4
0＜α＜1＜β＜2
所以f(0)*f(1)<0
f(1)*f(2)<0
所以4*(3t+3-7t+4)<0
(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0
由4*(3t+3-7t+4)<0
得到-4t+7<0
t>7/4
由(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0
得到(-4t+7)(-t+10)<0
(4t-7)(t-10)<0
7/4<t<10

所以7/4<t<10
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Answer 3

讨论t大于零还是小于零
当t>0f(x)=3tx²+(3-7t)x+4 f0>0 f1<0 f2>0
当t<0f(x)=3tx²+(3-7t)x+4 f0<0 f1>0 f2<0