Question

已知圆C：(x-1)^2 +(y-2)^2 =25及直线l：(2m+1)x +(m+1)y =7m+4（m∈R）

（1）证明：不论m取何实数，直线l与圆C恒相交
（2）求直线l与圆C所截得的弦长最短时直线l的方程
求详细解答

Answer 1

（1）要证明恒相交，可以求直线有一个点恒在圆内。
∴要求出直线恒过一个定点
∵直线过一个定点，所以这个定点的X Y能使直线等式恒成立，
∴2mx+x+my+y=7m+4
∴m(2x+y)+(x+y)=7m+4
∴2x+y=7 x+y=4
所以定点为A （3,1）
∵A在圆C内

∴恒相交
（2）C（1，2）当直线l与AC直线相垂直的时候 弦长最短
AC的斜率为-0.5
所以 l的斜率为2
所以 -（2m+1）/(m+1)=2
m=-3/4
所以 y=2x-5