Question

设α1α2β1β2均是3维列向量，且α1α2线性无关，β1β2线性无关，证明存在向量，使其可以用α1

设α1α2β1β2均是3维列向量，且α1α2线性无关，β1β2线性无关，证明存在向量，使其可以用α1α2线性表出，也可由β1β2线性表出，并求此向量

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Answer 1

证明：

因为α1α2β1β2均是3维列向量，且α1α2线性无关，β1β2线性无关

所以，一定存在α3和β3，使得{α1 α2 α3}和{β1 β2 β3}各自都构成三维列向量空间的一组基

1. 如果{α1 α2 α3}={β1 β2 β3}

   则命是题显然成立的

2. 如果{α1 α2 α3}≠{β1 β2 β3}

   一定存在x，x是一个三维列向量，且x可以仅用α1α2线性表出

       即：存在k1 k2不全为零，使得x=k1α1+k2α2+0*α3

       又因为{β1 β2 β3}构成三维列向量空间的一组基

       所以：α1=a1β1+a2β2+a3β3

                  α2=b1β1+b2β2+b3β3（a1、a2、a3、b1、b2、b3不全为零）

       所以：x=k1α1+k2α2+0*α3=k1a1β1+k1a2β2+k1a3β3+k2b1β1+k2b2β2+k2b3β3

                                                =(k1a1+k2b1)β1+(k1a2+k2b2)β2+(k1a3+k2b3)β3

       所以只要k1a3+k2b3=0，那么x就是符合题意的向量

       不妨设k1=k2=1；b3=-a3=2

       则此时：x=1*α1+1*α2+0*α3=(a1+b1)β1+(a2+b2)β2+0*β3

命题得证！