Question

已知函数fx=|x^2+3x|,x属于R,若方程fx-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根.则实数a的取值范围为what??

Answer 1

实际上相当于函数f(x)＝|x^2＋3x|与函数g(x)＝a|x－1|恰有4个交点时实数a的取值范围

如下图所示：

当0＜a＜1时，两个函数有四个交点，即原方程恰有4个相异实数根

追问

哦~~图像看懂了，但a的取值范围怎么得来的？？

追答

由图象易知，函数f(x)＝|x^2＋3x|与函数g(x)＝a|x－1|在x＞1时没有公共点，故只需考虑函数f(x)＝|x^2＋3x|与函数g(x)＝－ax＋a在x≤1的范围内交点情况。
由于f(x)≥0，故f(x)若与g(x)有交点，则a＞0
要使原方程有4个相异实数根，则
⑴当－3＜x＜0时，y＝－ax＋a与y＝－x^2－3x有两个交点
两个函数联立得一个方程组，消去y得：x^2－(a－3)x＋a＝0
令△＝[－(a－3)]^2－4a＞0，解得：a＜1或a＞9
其中a＞9时，y＝－ax＋a与y＝－x^2－3x在－3＜x＜0内没有公共点，故舍去
⑵当x≤－3或0≤x≤1时，y＝－ax＋a与y＝x^2＋3x有两个交点
两个函数联立得一个方程组，消去y得：x^2＋(a＋3)x－a＝0
令△＝(a＋3)^2＋4a＞0，解得：a＜－9或a＞－1
显然，a＞0时，f(x)与g(x)在x≤－3或0≤x≤1时有两个交点
因此，当0＜a＜1时，原方程恰有4个相异实数根

Answer 2

原方程：Abs[x^2 + 3 x] - a Abs[x - 1] == 0（Abs为绝对值）

x≤-3: x^2 + 3 x + a x - a == 0 ①
-3<x≤0: - x^2 - 3 x + a x - a == 0 ②
0<x≤1: 同①
x>1: x^2 + 3 x - a x + a == 0 等价②

解①得：△1=(a^2+10a+9)=(a+9)(a+1)，x=[-3-a±√△1]/2
解②得：△2=(a^2-10a+9)=(a-9)(a-1)，x=[-3+a±√△2]/2

依题意（恰有4个互异的实数根）得：
【△1>0】且【△2>0】
【(a+9)(a+1)>0】且【(a-9)(a-1)>0】

【a<-9 或 a>-1】且【a<1 或 a>9】

Answer 3

f1(x)=|x^2+3x| , f2(x)=a|x-1|,画图可知（一定要亲手画图啊），f1为抛物线但把x轴一下部分翻折到上面，与x轴交点横坐标-3和0，翻折部分方程为y=-（x^2+3x），同理f2为折线，翻折起的部分方程y=-a（x-1），看图很明显，当a小于零没有交点，即没有实数根，a大于零时，至少两个交点，最多四个交点，出现四个交点的条件是联立两个方程y=-（x^2+3x）和y=-a（x-1），消去y得到关于x的二次方程，起判别式△大于0，有x^2+（3-a）x+a=0，△=a^2-10a+9＞0，解得a＜1或a＞9，补充一下，a一定要大于零

追问

麻烦问一下当a取不同值时的图像怎么画啊？？