Question

求命题“有限区间上只有有限个间断点的有界函数可积”的证明过程

Answer 1

既然有有限个间断点，就一定有有限个连续的区间，设有X个间断点，就有X+1个区间，每个该区间上的函数都有界且连续，所以都可积，那么这几个区间上的函数合起来组成的这个有有限个间断点的有界函数一定可积。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。

如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。

扩展资料：

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

参考资料来源：百度百科-不定积分

Answer 2

既然有有限个间断点，就一定有有限个连续的区间，设有X个间断点，就有X+1个区间，每个该区间上的函数都有界且连续，所以都可积，那么这几个区间上的函数合起来组成的这个有有限个间断点的有界函数一定可积！！

Answer 3

参看高教版《数学分析》（陈纪修，於崇华，金路 编)上册定积分部分的第一节。

Answer 4

高数书上有