Question

已知函数f(x)=/log3x/,若0<m<n,且f(m)=f(n)

已知函数f(x)=/log3x/,若0<m<n,且f(m)=f(n)，则2m+n的取值范围

Answer 1

∵f(x)=\log3x|，0<m<n，f(m)=f(n)
∴f(m)=|log3m|=-log3m，f(n)=|jog3n|=log3n,，且-log3m=log3n
即log3m+log3n=log3(mn)=0
∴mn=1
∴2m+n≥2√(2m*n)=2√2。
(当且仅当2m=n，即m=√2/2，n=√2时，2m+n有最小值2√2)

Answer 2

f(x)=-log3x (0<x<1)
f(x)=log3x (x ≥1)
-log3m=log3n (0<m<1,n>1)
log3 mn=0
mn=1 n=1/m (0<m<1,n>1)(双曲线0<m<1）
设2m+n=a n=-2m+a（直线a为与纵轴的交点）
双曲线 n=1/m与直线 n=-2m+a切点为（√2/2，√2）
a最小
√2=-√2+a a=2√2
2m+n≥2√2

Answer 3

Answer 4

∵f(x)∈[0,2]
∴(mx^2+8x+n)/x^2+1∈[1,9]
设y=(mx^2+8x+n)/x^2+1,即1<=y<=9
∴（y-m)x^2-8x+（y-n)>=0
因为x∈R 设y-m≠0
∴△=64-4（y-m）（y-n）>=0
y^2-(m+n)y+(mn-16)<=0
由1<=y<=9知，1,9为方程的两根
∴m+n=1+9
mn-16=1*9
∴m=n=5

若y-m=0，即y=m=5时，对应的x=0符合条件

所以m=n=5