Question

微分方程中有关ln|x|中绝对值的疑问

求解微分方程：

y'+y/x=sinx/x
用常数变易法得
y=e^( ∫-1/x dx)·[c+∫(sinx/x)·(e^ ∫1/x dx)dx]
按理说出现 ∫1/x dx，应该是得到 ∫1/x dx=ln|x|，所以e^( ∫-1/x dx)=1/|x|
但是参考答案中并没加绝对值符号，直接得到e^( ∫-1/x dx)=1/x
而且许多题目中都是这样，为什么呢？
（有人说不会影响结果，但下面两个结果能一样吗？

e^( ∫-1/x dx)=e^-ln|x|=-1/|x| 恒负，
e^( ∫-1/x dx)=e^-lnx=-1/x 可正可负）

Answer 1

过程不重要，关键看最后的结果有没有对x的范围进行了限制。
一般出现lnx，lny时，不加绝对值，但是这无形中把变量的范围缩小了，怎样解决这一矛盾？
一种方法是直接带绝对值，但后续计算、化简时就会麻烦些。
常用的方法是不带绝对值，但最后结果的形式中尽量消去对数运算，如果保留对数运算，可以把常数C写成lnC，让lnx与lnC结合得到ln(Cx)，这样x的范围只是去掉了x=0这个点。本来，通解就未必包含所有的解，这种处理是可行的。

Answer 2

因为 指数e^( ∫-1/x dx) 恒 >0, 所以 1/x 必大于0，即此方程e^( ∫-1/x dx)=1/x已经定义 x 的定义域了，就不需要加 绝对值 多此一举了

Answer 3

这个地方不好说。一般来说取对数时，自变量的取值范围是大于0的，但是在复数范围内负数可以取对数。所以，答案也不一定对，关键要看x的取值范围，可以说这个题目是有漏洞的，只要自己明白就行了，不用纠结答案